Question

3．如圖所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB=1，AD=$\sqrt{3}$，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（1）證明：PD∥平面AFC；
（2）若PA=1，求證：AF⊥PC；
（3）若二面角P-BC-A的大小為60°，則CE為何值時(shí)，三棱錐F-ACE的體積為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC交BD于點(diǎn)Q，連結(jié)FQ，利用中位線定理及線面平行的判定定理即得結(jié)論；
（2）以A為原點(diǎn)，以AD、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量垂直即可說(shuō)明線段垂直；
（3）通過(guò)二面角P-BCV-A的大小為60°求出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到F點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)體積公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)Q，連結(jié)FQ，
∵四邊形ABCD是矩形，∴Q為AC的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，∴PD∥FQ，
∴PD∥平面AFC；
（2）證明：以A為原點(diǎn)，以AD、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
則A（0，0，0），B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，1，0），
∵PA=1，∴P（0，0，1），∴F（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{AF}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），
∵$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{PC}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）•（$\sqrt{3}$，1，-1）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$=0，
∴$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{PC}$，即AF⊥PC；
（3）解：設(shè)P（0，0，t），則F（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{t}{2}$），
則$\overrightarrow{AP}$=（0，0，t），$\overrightarrow{AF}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{t}{2}$），$\overrightarrow{PB}$=（0，1，-t），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{3}$，0，0），
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x=0}\\{y-tz=0}\end{array}\right.$，
令z=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，t，1），
∵二面角P-BCV-A的大小為60°，且$\overrightarrow{AP}$是平面ABC的一個(gè)法向量，
∴cos60°=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{t}{t•\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，
∴t=1，即$\overrightarrow{AF}$=（0，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
設(shè)CE=$\sqrt{3}$-x，由三棱錐F-ACE的體積為$\frac{1}{6}$，及V_F-ABE=V_F-ABC-V_F-ACE，
可得$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•x•\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•\sqrt{3}•1$-$\frac{1}{6}$，
解得x=2$\sqrt{3}$-2，∴CE=2-$\sqrt{3}$，
∴CE為2-$\sqrt{3}$時(shí)，三棱錐F-ACE的體積為$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行的判定，二面角的計(jì)算，棱錐的體積公式，考查空間想象能力、計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．