Question

3．在（x²-x+1）¹¹的展開式中，x³項(xiàng)的系數(shù)是-275．

Answer 1

分析 （x²-x+1）¹¹的展開式中，通項(xiàng)公式T_r+1=${∁}_{11}^{r}$（x²）^11-r（1-x）^r（r=0，1，2，…，11）．令11-r=0，11-r=1，解得r，再利用通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：（x²-x+1）¹¹的展開式中，通項(xiàng)公式T_r+1=${∁}_{11}^{r}$（x²）^11-r（1-x）^r（r=0，1，2，…，11）．
令11-r=0，解得r=11，則T₁₂=${∁}_{11}^{11}$（1-x）¹¹，（1-x）¹¹的通項(xiàng)公式T_k+1=${∁}_{11}^{k}（-x）^{k}$，令k=3，則可得：x³項(xiàng)的系數(shù)是-${∁}_{11}^{3}$×1=-165．
令11-r=1，解得r=10，則T₁₁=${∁}_{11}^{10}$x²（1-x）¹⁰，（1-x）¹⁰的通項(xiàng)公式T_k+1=${∁}_{10}^{k}（-x）^{k}$，令k=1，則可得：x³項(xiàng)的系數(shù)是-${∁}_{10}^{1}$×${∁}_{11}^{10}$=-110．
綜上可得：x³項(xiàng)的系數(shù)是-165-110=-275．
故答案為：-275．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．