Question

12．設(shè)兩個(gè)數(shù)列{a_n}和{b_n}，a_n=（-$\frac{1}{3}$）^n-1，b_n=$\frac{n+1}{1×2}$+$\frac{n+1}{2×3}$+…+$\frac{n+1}{n（n+1）}$，則數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為 T_n=$\frac{1}{16}$-$\frac{4n+1}{16}$•（-3）ⁿ．

Answer 1

分析 通過裂項(xiàng)、并項(xiàng)相加可知b_n=n，進(jìn)而可知$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=n•（-3）^n-1，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：b_n=$\frac{n+1}{1×2}$+$\frac{n+1}{2×3}$+…+$\frac{n+1}{n（n+1）}$
=（n+1）（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=（n+1）（1-$\frac{1}{n+1}$）
=n，
又∵a_n=（-$\frac{1}{3}$）^n-1，
∴$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{\frac{1}{（-3）^{n-1}}}$=n•（-3）^n-1，
記數(shù)列{$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，
則T_n=1•（-3）⁰+2•（-3）^2-1+…+（n-1）•（-3）^n-2+n•（-3）^n-1，
-3T_n=1•（-3）^2-1+2•（-3）^3-1+…+（n-1）•（-3）^n-1+n•（-3）ⁿ，
兩式相減得：4T_n=1+（-3）^2-1+（-3）^3-1+…+（-3）^n-1-n•（-3）ⁿ
=$\frac{1-（-3）^{n}}{1-（-3）}$-n•（-3）ⁿ
=$\frac{1}{4}$-$\frac{4n+1}{4}$•（-3）ⁿ，
∴T_n=$\frac{1}{16}$-$\frac{4n+1}{16}$•（-3）ⁿ，
故答案為：$\frac{1}{16}$-$\frac{4n+1}{16}$•（-3）ⁿ．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查裂項(xiàng)相消法，考查錯(cuò)位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．