Question

13．向量$\overrightarrow{a}$=（cosx，sinx），|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$滿足|k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|（k＞0），則$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$的最小值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 對|k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|兩邊平方，得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$關于k的函數(shù)，利用基本不等式即可求出最小值．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，
∵|k$\overrightarrow{a}$$+\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$|，∴k²+2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1=3（1-2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+k²）．
即k²-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+1=0．
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=$\frac{k}{4}+\frac{1}{4k}$≥2$\sqrt{\frac{1}{16}}$=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量級運算，基本不等式的應用，屬于中檔題．