Question

18．已知p：-1≤x≤1，q：a≤e^x≤b，其中a，b為實數(shù)．
（1）若p是q的充要條件，求ab的值；
（2）若a=1，b=e²，且p，q中恰有一個為真命題，求實數(shù)x的范圍．

Answer 1

分析 （1）可得a=e^-1，b=e¹，即ab=1．                                        
（2）由題意得q：1≤e^x≤e²，即q：0≤x≤2，
可得p，q中恰有一個為真命題，
分p真，q假； p假，q真求實數(shù)x的范圍即可．

解答 解：（1）∵p：-1≤x≤1，且p是q的充要條件，
∴q等價于e^-1≤e^x≤e¹，…（3分）
∴a=e^-1，b=e¹，∴ab=1．                                                        …（6分）
（2）由題意得q：1≤e^x≤e²，即q：0≤x≤2，
∵p，q中恰有一個為真命題，…（7分）
當(dāng)p真，q假時，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x＜0或x＞2}\end{array}}\right.$即-1≤x＜0，…（9分）
當(dāng)p假，q真時，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-1或x＞1}\\{0≤x≤2}\end{array}}\right.$即1＜x≤2，…（11分）
綜上所述：實數(shù)x的范圍為[-1，0）∪（1，2]．                             …（12分）

點評 本題考查了命題真假的應(yīng)用，充要條件的應(yīng)用，屬于中檔題．