Question

6．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A-BD-C，有如下四個結(jié)論：
?①AC⊥BD；?
②△ACD是等邊三角形；
?③AB與平面BCD成60°的角；
④AB與CD所成的角是90°．
其中正確結(jié)論的序號是①②．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，然后利用線面垂直的判定和性質(zhì)判斷①；求出AC長度判斷②；由圖求得AB與平面BCD所成角判斷③；利用反證法說明④錯誤．

解答 解：如圖，

設正方形ABCD的邊長為1，BD中點為O，連接AO，CO，
則AO⊥BD，CO⊥BD，∴BD⊥平面AOC，則AC⊥BD，故①正確；
由平面ABD⊥平面BCD，且AO⊥BD，得AO⊥平面BCD，
∴AO⊥CO，則AC=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=1$，則△ACD是等邊三角形，故②正確；
AB與平面BCD所成角為∠ABO=45°，故③錯誤；
若AB與CD所成的角是90°，即AB⊥CD，又AO⊥CD，∴CD⊥平面ADB，而CO⊥平面ADB，故④錯誤．
∴正確結(jié)論的序號是①②．
故答案為：①②．

點評 本題考查空間中位置關系的判定，考查空間想象能力和思維能力，是中檔題．