Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}\\;（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x）\\;（x＜0）}\end{array}\right.$．若函數(shù)g（x）=f²（x）+f（x）+t，（t∈R），則下列說法中不正確的是（　�。�

• A． 當t＜-2時，則函數(shù)g（x）有四個零點
• B． 當t=-2時，則函數(shù)g（x）有三個零點
• C． 當t=$\frac{1}{4}$時，則函數(shù)g（x）有一個零點
• D． 當-2＜t＜$\frac{1}{4}$時，則函數(shù)g（x）有兩個零點

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，令m=f（x），可得m≥1時，m=f（x）有兩根，m＜1時，m=f（x）有一根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析t取不同值時，g（x）=m²+m+t根的個數(shù)及分面情況，綜合討論可得．

解答 解：函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}\\;（x≥0）}\\{lo{g}_{3}（-x）\\;（x＜0）}\end{array}\right.$的圖象如圖所示，

令m=f（x），m≥1時，m=f（x）有兩根，m＜1時，m=f（x）有一根，
若t＜-2，則g（x）=m²+m+t=0有兩個根，一個大于1，一個小于1
此時，g（x）=0有三個根，故A錯誤；
若t=-2，則g（x）=f²（x）+f（x）-2=（m+2）（m-1）=0
此時m=-2，m=1，此時g（x）=0有三個根，
即g（x）有三個零點，故B正確；
若t=$\frac{1}{4}$，則g（x）=f²（x）+f（x）+$\frac{1}{4}$=（m+$\frac{1}{2}$）²=0
此時m=-$\frac{1}{2}$，由上圖可得，此時函數(shù)m=0有一個根，
即g（x）有一個零點，故C正確；
若-2＜t＜$\frac{1}{4}$，則g（x）=m²+m+t=0有兩個根，但均小于1
此時，g（x）=0有兩個根，故D正確．
故選：A

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，函數(shù)形結(jié)合并熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，屬中檔題．