Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+ax2-x（x＞0，a∈R）．

（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）求證：當(dāng)a≤0時(shí)，曲線y=f（x）上任意一點(diǎn)處的切線與該曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍．求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及a的范圍證明即可．

（Ⅰ）f′（x）=+2ax-1=（x＞0），

設(shè)g（x）=2ax2-x+1（x＞0），

（1）當(dāng)0＜a＜時(shí)，g（x）在（0，），（，+∞）上大于零，

在（，）上小于零，

所以f（x）在（0，），（，+∞）上遞增，

在（，）上遞減，

（2）當(dāng)a≥時(shí)，g（x）≥0（當(dāng)且僅當(dāng)a=，x=2時(shí)g（x）=0），

所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

（3）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）在（0，1）上大于零，在（1，+∞）上小于零，

所以f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，

（4）當(dāng)a＜0時(shí)，g（x）在（0，）上大于零，在（，+∞）上小于零，

所以f（x）在（0，）上遞增，在（，+∞）上遞減；

（Ⅱ）曲線y=f（x）在點(diǎn)（t，f（t））處的曲線方程為：

y=（+2at-1）（x-t）+lnt+at2-t，

曲線方程和y=f（x）聯(lián)立可得：

lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1=0，

設(shè)h（x）=lnx+ax2-（+2at）x-lnt+at2+1（x＞0），

h′（x）=，

當(dāng)a≤0時(shí)，在（0，t）h′（x）＞0，在（t，+∞）h′（x）＜0，

故h（x）在（0，t）遞增，在（t，+∞）遞減，

又h（t）=0，

故h（x）只有唯一的零點(diǎn)t，

即切線與該曲線只有1個(gè)公共點(diǎn)（t，f（t））．