Question

10．設(shè)E為正方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，分別在邊AD、BC上任取兩點(diǎn)P、Q．則∠PEQ為銳角的概率為$\frac{3-2ln2}{4}$．

Answer 1

分析 利用兩角和的正切公式，結(jié)合線性規(guī)劃問題以及幾何概型的概率公式即可得到．

解答 解：設(shè)正方形的邊長為2，AP=x，BQ=y，如圖1，

則0≤x≤2，0≤y≤2，平面區(qū)域{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積S=4．
E為AB中點(diǎn)，則tan∠QEB=$\frac{BQ}{EB}$=y，tan∠AEP=$\frac{AP}{AE}$=x，
則tan（∠QEB+∠AEP）=$\frac{tan∠QEB+tan∠AEP}{1-tan∠QEBtan∠AEP}$=$\frac{x+y}{1-xy}$，
若∠PEQ為銳角，則等價(jià)為∠QEB+∠AEP是鈍角，
即tan（∠QEB+∠AEP）=$\frac{x+y}{1-xy}$＜0，
即1-xy＜0，即y＞$\frac{1}{x}$，
作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖2：
當(dāng)y=2時(shí)，由y=$\frac{1}{x}$，解得x=$\frac{1}{2}$，滿足y＞$\frac{1}{x}$的部分如圖 2陰影部分，
其面積為：${∫}_{\frac{1}{2}}^{2}$（2-$\frac{1}{x}$）dx=（2x-lnx）|${\;}_{\frac{1}{2}}^{2}$=3-2ln2，
由幾何概型公式得到∠PMQ為銳角的概率為$\frac{3-2ln2}{4}$；
故答案為：$\frac{3-2ln2}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查幾何概型的概率計(jì)算，根據(jù)條件將∠PMQ為銳角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用積分求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．