Question

10．設E為正方形ABCD邊AB的中點，分別在邊AD、BC上任取兩點P、Q．則∠PEQ為銳角的概率為$\frac{3-2ln2}{4}$．

Answer 1

分析 利用兩角和的正切公式，結合線性規(guī)劃問題以及幾何概型的概率公式即可得到．

解答 解：設正方形的邊長為2，AP=x，BQ=y，如圖1，

則0≤x≤2，0≤y≤2，平面區(qū)域{（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2}對應的區(qū)域面積S=4．
E為AB中點，則tan∠QEB=$\frac{BQ}{EB}$=y，tan∠AEP=$\frac{AP}{AE}$=x，
則tan（∠QEB+∠AEP）=$\frac{tan∠QEB+tan∠AEP}{1-tan∠QEBtan∠AEP}$=$\frac{x+y}{1-xy}$，
若∠PEQ為銳角，則等價為∠QEB+∠AEP是鈍角，
即tan（∠QEB+∠AEP）=$\frac{x+y}{1-xy}$＜0，
即1-xy＜0，即y＞$\frac{1}{x}$，
作出對應的平面區(qū)域如圖2：
當y=2時，由y=$\frac{1}{x}$，解得x=$\frac{1}{2}$，滿足y＞$\frac{1}{x}$的部分如圖 2陰影部分，
其面積為：${∫}_{\frac{1}{2}}^{2}$（2-$\frac{1}{x}$）dx=（2x-lnx）|${\;}_{\frac{1}{2}}^{2}$=3-2ln2，
由幾何概型公式得到∠PMQ為銳角的概率為$\frac{3-2ln2}{4}$；
故答案為：$\frac{3-2ln2}{4}$．

點評 本題主要考查幾何概型的概率計算，根據條件將∠PMQ為銳角進行轉化，利用積分求出對應區(qū)域的面積是解決本題的關鍵，綜合性較強．