Question

5．己知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），以C的一個頂點為圓心，a為半徑的圓被C截得的劣弧長為$\frac{2π}{3}a$，則雙曲線C的離心率為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線與圓A在第一象限的交點為P，由題意可得AP與x軸的夾角為60°，由三角函數(shù)的定義可得P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，結(jié)合a，b，c和離心率公式計算即可得到所求值．

解答 解：設(shè)雙曲線與圓A在第一象限的交點為P，
由題意可得AP與x軸的夾角為60°，
即有P（a+acos60°，asin60°），
即為（$\frac{3a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
代入雙曲線的方程可得$\frac{9{a}^{2}}{4{a}^{2}}$-$\frac{3{a}^{2}}{4^{2}}$=1，
即有3a²=5b²=5（c²-a²），
即5c²=8a²，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．