Question

16．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是平面ABCD上一動點，則直線BE與直線B₁D所成角的余弦值的取值范圍是[0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]．

Answer 1

分析 以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線BE與直線B₁D所成角的余弦值的取值范圍．

解答 解以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，E（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，
則D（0，0，0），B（1，1，0），B₁（1，1，1），
$\overrightarrow{BE}$=（x-1，y-1，0），$\overrightarrow{{B}_{1}D}$=（-1，-1，-1），
設(shè)直線BE與直線B₁D所成角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{{B}_{1}D}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{{B}_{1}D}|}$=$\frac{（1-x）+（1-y）}{\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}•\sqrt{3}}$，
∵0≤x≤1，0≤y≤1，
∴x=y=0時，（cosθ）_max=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
當(dāng)BE⊥BD時，（cosx）_min=0．
∴直線BE與直線B₁D所成角的余弦值的取值范圍是[0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]．

點評 本題考查異面直線所成角的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．