Question

3．若$\sqrt{1-x}$+$\sqrt{2-y}$+$\sqrt{3-z}$=1，求x+y+z的最大值．

Answer 1

分析 令a=$\sqrt{1-x}$≥0，b=$\sqrt{2-y}$≥0，c=$\sqrt{3-z}$≥0，（x≤1，y≤2，z≤3）．可得a+b+c=1，a²+b²+c²=6-（x+y+z），利用2（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²，即可得出．

解答 解：令a=$\sqrt{1-x}$≥0，b=$\sqrt{2-y}$≥0，c=$\sqrt{3-z}$≥0，（x≤1，y≤2，z≤3）．
則a+b+c=1，a²+b²+c²=6-（x+y+z），
∵2（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²，
∴2[6-（x+y+z）]≥1，當且僅當a=b=c，即$\sqrt{1-x}$=$\sqrt{2-y}$=$\sqrt{3-z}$=$\frac{1}{3}$取等號，即x=$\frac{8}{9}$，y=$\frac{17}{9}$，z=$\frac{26}{9}$．
解得x+y+z≤6-$\frac{1}{2}$=$\frac{11}{2}$．
∴x+y+z的最大值為$\frac{11}{2}$．

點評 本題考查了換元法、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．