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17.在平面直角坐標系中,動點M到定點F(-1,0)的距離和它到直線l:x=-2的距離之比是常數(shù)22,記動點M的軌跡為T.
(1)求軌跡T的方程;
(2)過點F且不與x軸重合的直線m,與軌跡T交于A,B兩點,線段AB的垂直平分線與x軸交于點P,與軌跡T是否存在點Q,使得四邊形APBQ為菱形?若存在,請求出直線m的方程;若不存在,請說明理由.

分析 (1)設(shè)動點M(x,y),由點到直線的距離公式和兩點間距離公式列出方程,能求出軌跡T的方程.
(2)假設(shè)存在Q(x0,y0)滿足條件.設(shè)依題意設(shè)直線m為x=ky-1,聯(lián)立{x=ky1x22+y2=1,消去x,得(k2+2)y2-2ky-1=0,由此利用韋達定理、橢圓性質(zhì)、直線方程,結(jié)合已知條件能求出直線m的方程.

解答 解:(1)設(shè)動點M(x,y),
∵動點M到定點F(-1,0)的距離和它到直線l:x=-2的距離之比是常數(shù)22,
∴由題意,得x+12+y2|x+2|=22,
化簡整理得C的方程為x22+y2=1
∴軌跡T的方程為x22+y2=1.…(3分)
(2)假設(shè)存在Q(x0,y0)滿足條件.設(shè)依題意設(shè)直線m為x=ky-1,
聯(lián)立{x=ky1x22+y2=1,消去x,得(k2+2)y2-2ky-1=0,
令M(x1,y1),N(x2,y2),
則y1+y2=2kk2+2,x1+x2=k(y1+y2)-2=4k2+2,…(7分)
∴AB的中點N的坐標為(2k2+2,kk2+2).
∵PQ⊥l,∴直線PQ的方程為y-kk2+2=-k(x+2k2+2),
令y=0,解得x=1k2+2,即P(1k2+2,0).…(9分)
∵P、Q關(guān)于N點對稱,∴2k2+2=12( x01k2+2),kk2+2=12( y0+0),
解得x0=3k2+2,y0=2kk2+2,即Q(3k2+2,2kk2+2). …(11分)
∵點Q在橢圓上,∴(3k2+22+2(2kk2+22=2,
解得k2=12,∴1k2=2,∴1k\root{4}{2},
∴m的方程為y=\root{4}{2}x+\root{4}{2}或y=-\root{4}{2}x-\root{4}{2}.  …(13分)

點評 本題考查軌跡方程的求法,考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意韋達定理、橢圓性質(zhì)、直線方程的合理運用.

練習冊系列答案
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女同學(xué)81220
總計302050
(Ⅰ)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關(guān)?
(Ⅱ)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究,記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
參考公式和數(shù)據(jù):K2=nadbc2a+bc+da+cb+d
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