Question

7．在正四棱錐P-ABCD中，所有棱長均等于2$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，求異面直線AE與CF所成角的余弦值為（　�。�

• A． -$\frac{2}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OP，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AE與CF所成角的余弦值．

解答 解：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OP，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
∵正四棱錐P-ABCD中，所有棱長均等于2$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，
∴OA=OB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}$=2，OP=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2，
∴A（2，0，0），D（0，-2，0），P（0，0，2），B（0，2，0），
E（0，-1，1），F(xiàn)（0，1，1），C（-2，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（-2，-1，1），$\overrightarrow{CF}$=（2，1，1），
設(shè)異面直線AE與CF所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}|}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{2}{3}$．
∴異面直線AE與CF所成角的余弦值為$\frac{2}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．