Question

2．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且焦距為4$\sqrt{3}$
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于A、B兩點，且△AOB的面積為4，其中O為坐標原點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且焦距為4$\sqrt{3}$，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-16=0，利用根的判別式、韋達定理、弦長公式，結合已知條件能求出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，且焦距為4$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}}\\{2c=4\sqrt{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2，
∴橢圓C的方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（4k²+1）x²+8kmx+4m²-16=0，
由△=（8km）²-4（4k²+1）（4m²-16）＞0，得m²＜4+16k²，
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{4{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-16}{4{k}^{2}+1}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（-\frac{8km}{4{k}^{2}+1}）^{2}-\frac{4（4{m}^{2}-16）}{4{k}^{2}+1}}$=4$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{16{k}^{2}+4-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+1}$，
∴△AOB的面積S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|•$\frac{|m|\sqrt{16{k}^{2}+4-{m}^{2}}}{4{k}^{2}+1}$=2$\sqrt{（4-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）•\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}}$，
∴2$\sqrt{（4-\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}）•\frac{{m}^{2}}{4{k}^{2}+1}}$=4，∴m²=2（4k²+1），
由k²≥0，m²≥2，得$m≥\sqrt{2}$或m$≤-\sqrt{2}$，
∴m的取值范圍為（-∞，-$\sqrt{2}$]∪[$\sqrt{2}，+∞$）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、韋達定理、弦長公式、橢圓性質的合理運用．