Question

18．如圖，將一根長為m的鐵絲彎曲圍成一個上面是半圓，下方是矩形的形狀．
（1）將鐵絲圍成的面積y表示為圓的半徑x的函數(shù)，并寫出其定義域．
（2）求面積最大時，圓的半徑x大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)形狀不難發(fā)現(xiàn)它由矩形和一個半圓組成，故其面積為：一個矩形的面積+一個半圓的面積，周長為半圓弧長加上矩形的兩高和底長，分別表示成關(guān)于底寬的關(guān)系式，由長度大于0，可得定義域；
（2）再利用二次函數(shù)求最值和方法得出面積最大時的圓的半徑即可．

解答 解：（1）由題意可得底寬2x米，半圓弧長為πx，
再設(shè)矩形的高為t米，可得：y=2xt+$\frac{π}{2}$x²，
∴t=$\frac{y-\frac{π}{2}{x}^{2}}{2x}$，
可得周長為：m=2t+2x+πx=$\frac{y-\frac{π}{2}{x}^{2}}{x}$+2x+πx=$\frac{y}{x}$+（2+$\frac{π}{2}$）x，
由t＞0得0＜x＜$\frac{m}{2+π}$，
即有y=-（2+$\frac{π}{2}$）x²+mx，定義域?yàn)椋?，$\frac{m}{2+π}$）；
（2）由y=-（2+$\frac{π}{2}$）x²+mx
=-（2+$\frac{π}{2}$）（x-$\frac{m}{4+π}$）²+$\frac{{m}^{2}}{8+2π}$，
當(dāng)x=$\frac{m}{4+π}$時，y取得最大值$\frac{{m}^{2}}{8+2π}$，
即有半徑x=$\frac{m}{4+π}$時，面積取得最大值．

點(diǎn)評 此題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用和函數(shù)最值問題，屬于中檔題．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系，再應(yīng)用二次函數(shù)的最值的求法加以解決．