Question

3．已知f（x）是R上的偶函數，且在（-∞，0]是減函數，若f（3）=0，則不等式$\frac{f（x）+f（-x）}{x}＜0$的解集是（　�。�

• A． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• B． （-3，0）∪（3，+∞）
• C． （-∞，-3）∪（0，3）
• D． （-3，0）∪（0，3）

Answer 1

分析 利用函數的奇偶性將不等式進行化簡，然后利用函數的單調性確定不等式的解集．

解答 解：因為y=f（x）為偶函數，所以$\frac{f（x）+f（-x）}{x}＜0$等價為$\frac{2f（x）}{x}$＜0，
所以不等式等價為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$．
因為函數y=f（x）為偶函數，且在（-∞，0]上是減函數，又f（3）=0，
所以f（x）在[0，+∞）是增函數，則對應的圖象如圖：
所以解得x＜-3或0＜x＜3，
即不等式的解集為（-∞，-3）∪（0，3）．
故選：C．

點評 本題主要考查函數奇偶性和單調性的性質，根據函數性質的綜合應用，將不等式轉化是解決本題的關鍵．