Question

6．證明平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分．

Answer 1

分析 在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，設(shè)O、P、M、N分別是AC′、BD′、CA′、DB′的中點(diǎn)，推導(dǎo)出$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}）$，由此能證明對(duì)角線AC′、BD′、CA′、DB′交于一點(diǎn)，且在交點(diǎn)處互相平分．

解答 已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，求證：對(duì)角線AC′、BD′、CA′、DB′交于一點(diǎn)，且在交點(diǎn)處互相平分．
證明：如圖，在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，
設(shè)O是AC′的中點(diǎn)，則$\overrightarrow{AO}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{A{C}^{'}}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}）}$，
設(shè)P、M、N分別是BD′、CA′、DB′的中點(diǎn)，
則$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{B{D}^{'}}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}^{'}}）$
=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}（-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}）$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}）$，
同理，得：$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}）$，
$\overrightarrow{AN}$=$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{'}}）$，
∴O、P、M、N四點(diǎn)重合，
∴對(duì)角線AC′、BD′、CA′、DB′交于一點(diǎn)，且在交點(diǎn)處互相平分．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．