Question

14．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+2\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），直線l和圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是圓C上不同于A，B的任意一點(diǎn)．
（Ⅰ）求圓C及l(fā)的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展開(kāi)可得：ρ²=2$\sqrt{2}×ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ），利用互化公式可得可得直角坐標(biāo)方程．由直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+2\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程．
（II）求出圓心C（1，-1）到直線l的距離d，可得|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-ewewcy2^{2}}$．可得點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為r+d，即可得出△PAB面積的最大值．

解答 解：（I）圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展開(kāi)可得：ρ²=2$\sqrt{2}×ρ$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$（cosθ-sinθ），可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²=2x-2y，配方為：（x-1）²+（y+1）²=2．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-1+2\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t可得普通方程：$2\sqrt{2}$x-y-1=0．
（II）r=$\sqrt{2}$，圓心C（1，-1）到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{2}+1-1|}{\sqrt{9}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-gskemim^{2}}$=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$．
∴點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值為r+d=$\sqrt{2}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{5\sqrt{2}}{3}$，
∴S_max=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{10}}{3}$×$\frac{5\sqrt{2}}{3}$=$\frac{10\sqrt{5}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．