Question

1．如圖所示，E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中BB₁，B₁C₁的中點，計算：
（1）EF與CD₁所成的角；
（2）EF與AD所成的角．

Answer 1

分析 （1以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出EF與CD₁所成的角．
（2）利用向量法能求出EF與AD所成的角．

解答 解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則E（2，2，1），F(xiàn)（1，2，2），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{EF}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{C{D}_{1}}$=（0，-2，2），
設EF與CD₁所成的角為α，
則cosα=|cos＜$\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{C{D}_{1}}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{C{D}_{1}}}{|\overrightarrow{EF}|•|\overrightarrow{C{D}_{1}}|}$|=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{2}$．
∴α=60°，∴EF與CD₁所成的角為60°．
（2）A（2，0，0），D（0，0，0），$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，0），
設EF與AD所成的角為β，
則cosβ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{EF}|}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{EF}|}$=$\frac{|2|}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴β=45°，∴EF與AD所成的角為45°．

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．