Question

16．在平面直角坐標(biāo)系下，曲線C₁：x+2y-2a=0，曲線C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=1+2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
（1）當(dāng)a=3時，求曲線C₂上的點到C₁的距離的最大值；
（2）若曲線C₁，C₂有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出C₂的普通方程，判斷C₁，C₂的位置關(guān)系，得出結(jié)論；
（2）令C₂的圓心到C₁的距離不大于C₂的半徑，列出不等式解出．

解答 解：（1）曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為（$\frac{x}{2}$）²+（$\frac{y-1}{2}$）²=1，即x²+（y-1）²=4．
∴曲線C₂表示以（0，1）為圓心，以2為半徑的圓．
當(dāng)a=3時，C₁方程為x+2y-6=0．
曲線C₂的圓心到直線C₁的距離d=$\frac{|2-6|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$＜2．
∴直線C₁與圓C₂相交，∴曲線C₂上的點到C₁的距離的最大值為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$+2．
（2）∵曲線C₁，C₂有公共點，
∴曲線C₂的圓心到直線C₁的距離d=$\frac{|2-2a|}{\sqrt{5}}$≤2．即a²-2a-4≤0，解得1-$\sqrt{5}$≤a≤1+$\sqrt{5}$．
∴a的取值范圍是[1-$\sqrt{5}$，1+$\sqrt{5}$]．

點評 本題考查了參數(shù)方程與普通方程的互化，直線與圓位置關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．