Question

16．設(shè)min（x₁，x₂，…，x_n）表示x₁，x₂，…，x_n中最小的一個(gè)，max（x₁，x₂，…，x_n）表示x₁，x₂，…，x_n中最大的一個(gè)，給出下列命題：
①min{x²，x-1}=x-1；
②設(shè)a，b∈R，a≠0，|a|≠|(zhì)b|，有min{|a|-|b|，$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$}=|a|-|b|；
③設(shè)a，b∈R⁺，有$min\{a，\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$的最大值為1；
④a，b∈R，max{|a+b|，|a-b|，|2014-b|}≥1007
其中所有正確命題的序號(hào)有（　�。�

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據(jù)已知中min（x₁，x₂，…，x_n）表示x₁，x₂，…，x_n中最小的一個(gè)，max（x₁，x₂，…，x_n）表示x₁，x₂，…，x_n中最大的一個(gè)，分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：x²-（x-1）=x²-x+1＞0恒成立，故min{x²，x-1}=x-1，故①正確；
②設(shè)a，b∈R，a≠0，|a|≠|(zhì)b|，
若|a|＜|b|，則|a|-|b|＜0，$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$＞0，
則min{|a|-|b|，$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$}=|a|-|b|；
若|a|＞|b|，則|a|-|b|＞0，
$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$=$\frac{|{a|}^{2}-{\left|b\right|}^{2}}{|a|}$=$\frac{（|{a|}^{\;}-{\left|b\right|}^{\;}）（|{a|}^{\;}+{\left|b\right|}^{\;}）}{|a|}$＞|a|-|b|，
則min{|a|-|b|，$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$}=|a|-|b|；
綜上：min{|a|-|b|，$\frac{{|{a^2}-{b^2}|}}{|a|}$}=|a|-|b|恒成立，故②正確；
③設(shè)a，b∈R⁺，
若a=1，則$\frac{2b}{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2b}{1+^{2}}$≤$\frac{2b}{2b}$=1，此時(shí)$min\{a，\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$≤1，
若a＞1，則$\frac{2b}{{a}^{2}+^{2}}$＜$\frac{2b}{1+^{2}}$≤$\frac{2b}{2b}$=1，此時(shí)$min\{a，\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$＜1，
若0＜a＜1，則$min\{a，\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$＜1，
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)a=b-1時(shí)$min\{a，\frac{2b}{{{a^2}+{b^2}}}\}$的最大值為1，故③正確；
④a，b∈R，max{|a+b|，|a-b|，|2014-b|}≥1007，
當(dāng)b≤1007，或b≥3021時(shí)，|2014-b|≥1007，
此時(shí)max{|a+b|，|a-b|，|2014-b|}≥1007，
當(dāng)1007＜b＜3021，a≥0時(shí)，|a+b|＞1007，
當(dāng)1007＜b＜3021，a＜0時(shí)，|a-b|＞1007，
綜上max{|a+b|，|a-b|，|2014-b|}≥1007，
當(dāng)且僅當(dāng)a=0，b=1007時(shí)，取等號(hào)，故④正確．
故正確的命題的序號(hào)為：①②③④，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．