Question

4．下列四種說法中正確的是③④
①若復(fù)數(shù)z滿足方程z²+2=0，則z³=-2$\sqrt{2}$i；
②線性回歸方程對應(yīng)的直線$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$一定經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）中的一個(gè)點(diǎn)；
③若（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²（x∈R），則$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=-1；
④用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時(shí)，從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個(gè)因式是2（2k+1）．

Answer 1

分析 根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可判斷①；根據(jù)回歸直線的幾何特征，可判斷②；令x=$\frac{1}{2}$，結(jié)合組合數(shù)公式，可判斷③；根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，可判斷④．

解答 解：①若復(fù)數(shù)z滿足方程z²+2=0，則z²=-2，z=$±\sqrt{2}i$，z³=±2$\sqrt{2}$i，故①錯(cuò)誤；
②線性回歸方程對應(yīng)的直線$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$一定經(jīng)過其樣本中心數(shù)據(jù)點(diǎn)（$\overline{x}，\overline{y}$），但可能不經(jīng)過任一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；
③若（1-2x）²⁰¹²=a₀+a₁x+…+a₂₀₁₂x²⁰¹²，令x=$\frac{1}{2}$，則（1-2x）²⁰¹²=a₀+$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=1+$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=0，則$\frac{a_1}{2}$+$\frac{a_2}{2^2}$+…+$\frac{{{a_{2012}}}}{{{2^{2012}}}}$=-1，故③正確；
④用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時(shí)，、
若n=k時(shí)成立，則（k+1）（k+2）…（k+k）=2^k•1•3…（2k-1）
則n=k+1時(shí)，應(yīng)有（k+2）（k+2）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2）=2^k+1•1•3…（2k+1）
則從“k”到“k+1”的證明，左邊需增添的一個(gè)因式是2（2k+1），故④正確．
故說法正確的是：③④，
故答案為：③④

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．