Question

【題目】已知平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為，若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C．

（I）求曲線C的方程；

（II）過(guò)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn).證明：．

Answer 1

【答案】（I）（II）見(jiàn)解析

【解析】

（I）根據(jù)題目點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為，列出相應(yīng)的等式方程，化簡(jiǎn)可得軌跡C的方程；

（II）對(duì)直線分軸、l與x軸重合以及l(fā)存在斜率且斜率不為零三種情況進(jìn)行分析，當(dāng)l存在斜率且斜率不為零時(shí)，利用點(diǎn)斜式設(shè)直線方程，與曲線C的方程進(jìn)行聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，可推得，從而推出。

解：（I）∵到點(diǎn)的距離和到直線的距離之比為.

∴，.

化簡(jiǎn)得：．

故所求曲線C的方程為：.

（II）分三種情況討論：

1、當(dāng)軸時(shí)，由橢圓對(duì)稱性易知：．

2、當(dāng)l與x軸重合時(shí)，由直線與橢圓位置關(guān)系知：

3、設(shè)l為：，，且，，

由化簡(jiǎn)得：，

∴，

設(shè)MA,MB，所在直線斜率分別為：，，則

此時(shí)，．

綜上所述：.