Question

9．已知$\frac{3-a}{4}$和4的等比中項為$\sqrt{2}$b，且a＞1，則$\frac{2}{a-1}$$+\frac{1}{^{2}}$的最小值為（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 先根據(jù)等比中項得到a與b的關(guān)系，再構(gòu)造函數(shù)，從而求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值．

解答 解：∵$\frac{3-a}{4}$和4的等比中項為$\sqrt{2}$b，
∴2b²=3-a，
∴$\frac{2}{a-1}$$+\frac{1}{^{2}}$=$\frac{2}{a-1}$+$\frac{2}{3-a}$，
設(shè)f（x）=$\frac{2}{x-1}$-$\frac{2}{x-3}$，x＞1，
∴f′（x）=-$\frac{2}{（x-1）^{2}}$+$\frac{2}{（x-3）^{2}}$=$\frac{8（x-2）}{（x-1）^{2}（x-3）^{2}}$，
令f′（x）=0，解得x=2，
當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)2＜x＜3或x＞3時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（2）=$\frac{2}{2-1}$-$\frac{2}{2-3}$=4，
故$\frac{2}{a-1}$$+\frac{1}{^{2}}$的最小值為4，
故選：A

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用及整體思想的應(yīng)用，屬于中檔題．