Question

19．若函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x在區(qū)間（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [2，+∞）
• B． （0，2）
• C． （-∞，2）
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意可得f′（x）=x²-ax+1≥0對任意x∈（0，1）恒成立，分離參數(shù)a后，利用函數(shù)單調(diào)性求出$\frac{{x}^{2}+1}{x}$的范圍得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x，得
f′（x）=x²-ax+1，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x在區(qū)間（0，1）內(nèi)為增函數(shù)，
∴f′（x）=x²-ax+1≥0對任意x∈（0，1）恒成立，
即a≤$\frac{{x}^{2}+1}{x}$在x∈（0，1）上恒成立，
∵$\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$在（0，1）上為減函數(shù)，
∴$\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$＞2，
則a≤2．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．
故選：D．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，是中檔題．