Question

17．長時間用手機上網嚴重影響著學生身心健康及學習成績，某校為了解高二年級A，B兩班學生手機上網的時長，分別從這兩個班中隨機抽取6名同學進行調查，將他們平均每周手機上網時長作為樣本數(shù)據(jù)，A班（單位：小時/每周）：9，37，11，20，13，24；B班：11，36，21，25，27，12（單位：小時/每周）．注：規(guī)定學生平均每周手機上網的時長超過21小時，稱為“過度用網”．
（Ⅰ）根據(jù)兩組數(shù)據(jù)繪制莖葉圖（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個位數(shù)字），根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計A，B兩班的學生平均每周上網時長的平均值，并比較哪個班的學生平均上網時間較長；

A班		B班
	0
	1
	2
	3

（II）從A班、B班的樣本中各隨機抽取2名學生的數(shù)據(jù)，記“過度用網”的學生人數(shù)為ξ，寫出ξ的分布列和數(shù)學期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得莖葉圖；分別求出甲、乙兩班樣本數(shù)據(jù)的平均值，由此能估計甲、乙兩班學生每周平均熬夜時間．
（II）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望．

解答 解：（Ⅰ）莖葉圖如圖所示．
甲班樣本數(shù)據(jù)的平均值為$\frac{9+11+13+20+24+37}{6}$=19，
由此估計甲班學生每周平均熬夜時間19小時．
乙班樣本數(shù)據(jù)的平均值為$\frac{1}{6}$（11+12+21+25+27+36）=22，
由此估計乙班學生每周平均熬夜時間為22小時．
∴乙班的學生平均上網時間較長；
（II）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{25}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{26}{75}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{3}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{2}+{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{31}{75}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}+{C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{11}{75}$，
P（ξ=4）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{75}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	$\frac{2}{25}$	$\frac{26}{75}$	$\frac{31}{75}$	$\frac{11}{75}$	$\frac{1}{75}$

E（ξ）=0×$\frac{2}{25}$+1×$\frac{26}{75}$+2×$\frac{31}{75}$+3×$\frac{11}{75}$+4×$\frac{1}{75}$=$\frac{5}{3}$．

點評 本題考查莖葉圖的應用，考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．