Question

16．已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖所示，A、B兩點之間的距離為10，且f（2）=0，若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移t（t＞0）個單位長度后所得函數(shù)圖象關于y軸對稱，則t的最小值為6．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的圖象，求出ω 和φ的值，結合三角函數(shù)的平移關系結合三角函數(shù)關于y軸對稱進行求解即可．

解答 解：∵A、B兩點之間的距離為10，
∴|AB|²=|BC|²+|AC|²，
即100=（$\frac{T}{2}$）²+36，即（$\frac{T}{2}$）²=64，
則$\frac{T}{2}$=8，
則T=16，即$\frac{2π}{ω}$=16，
即ω=$\frac{π}{8}$，
即f（x）=3sin（$\frac{π}{8}$x+φ），
∵f（2）=0，
∴f（2）=3sin（$\frac{π}{8}$×2+φ）=3sin（$\frac{π}{4}$+φ）=0，
則$\frac{π}{4}$+φ=kπ，即φ=-$\frac{π}{4}$+kπ，
∵|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴當k=0時，φ=-$\frac{π}{4}$，
即f（x）=3sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$），
若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移t（t＞0）個單位長度后，
得到y(tǒng)=3sin[$\frac{π}{8}$（x-t）+$\frac{π}{4}$]=3sin（$\frac{π}{8}$x+$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{8}$t），
若所得函數(shù)圖象關于y軸對稱，
則$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{8}$t=$\frac{π}{2}$+kπ，
即t=-2-8k，k∈Z，
∵t＜0，
∴當k=-1時，t=8-2=6，此時t最小，
故答案為：6．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵．