Question

4．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a+c=2b，且A-C=$\frac{π}{2}$，則sinB的值為$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

Answer 1

分析 用B表示A，C，由正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，消去A，C得到sin$\frac{B}{2}$，根據(jù)B的范圍解出cos$\frac{B}{2}$，使用二倍角公式得出sinB．

解答 解：∵A+C=π-B，A-C=$\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{3π}{4}-\frac{B}{2}$，C=$\frac{π}{4}-\frac{B}{2}$，
∵a+c=2b，∴sinA+sinC=2sinB．
即sin（$\frac{3π}{4}-\frac{B}{2}$）+sin（$\frac{π}{4}-\frac{B}{2}$）=2sinB．
∴$\sqrt{2}$cos$\frac{B}{2}$=4sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$．
∴sin$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
∵A-C=$\frac{π}{2}$，∴B$＜\frac{π}{2}$．
∴cos$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{14}}{4}$．
∴sinB=2sin$\frac{B}{2}$cos$\frac{B}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，兩角和差的正弦函數(shù)，同角三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．