Question

19．（文科）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_2n-1•a_2n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過n=1，2，3，4，計(jì)算可得a₃，a₄，a₅，a₆的值，討論n為奇數(shù)和偶數(shù)，由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求出b_n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，運(yùn)用錯位相減法，即可得到數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（Ⅰ）a₁=1，a₂=$\frac{1}{2}$，且[3+（-1）ⁿ]a_n+2-2a_n+2[（-1）ⁿ-1]=0，
則2a₃-2a₁-4=0，解得a₃=3，
4a₄-2a₂=0，解得a₄=$\frac{1}{4}$，
2a₅-2a₃-4=0，解得a₅=5，
4a₆-2a₄=0，解得a₆=$\frac{1}{8}$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a_n+2=a_n+2，a_n=n；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a_n+2=$\frac{1}{2}$a_n，a_n=$（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}$．
即有a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n為奇數(shù)}\\{（\frac{1}{2}）^{\frac{n}{2}}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由于2n-1為奇數(shù)，則a_2n-1=2n-1，
由于2n為偶數(shù)，則a_2n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
因此，b_n=a_2n-1•a_2n=（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ．
S_n=1•$\frac{1}{2}$+3•（$\frac{1}{2}$）²+5•（$\frac{1}{2}$）³+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$S_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+5•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（2n-3）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
兩式相減得$\frac{1}{2}$S_n=1•$\frac{1}{2}$+2[（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ]-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得，S_n=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式的運(yùn)用，同時(shí)考查錯位相減法求數(shù)列的和，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．