Question

已知函數(shù)f（x）=4ln（x-1）+

1

2

x²-（m+2）x+

3

2

-m（m為常數(shù)），
（1）當(dāng)m=4時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)m=4時(shí)，f（x）=4ln（x-1）+

1

2

x²-6x-

5

2

．f′（x）=

4

x-1

+x-6=

x2-7x+10

x-1

，分析導(dǎo)函數(shù)在定義域各區(qū)間上的符號，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，則f′（x）=

4

x-1

+x-（m+2）=

x2-(m+3)x+m+6

x-1

在定義域內(nèi)有兩個(gè)根，則

△=[-(m+3)]2-4(m+6)＞0 1-(m+3)+m+6＞0 m+3 2 ＞1

，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解　依題意得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
（1）當(dāng)m=4時(shí)，f（x）=4ln（x-1）+

1

2

x²-6x-

5

2

．
f′（x）=

4

x-1

+x-6=

x2-7x+10

x-1

=

(x-2)(x-5)

x-1

．
令f′（x）＞0，解得x＞5，或1＜x＜2．
令f′（x）＜0，解得2＜x＜5．
可知函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2）和（5，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（2，5）．
（2）f′（x）=

4

x-1

+x-（m+2）=

x2-(m+3)x+m+6

x-1

，
若函數(shù)y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
則

△=[-(m+3)]2-4(m+6)＞0 1-(m+3)+m+6＞0 m+3 2 ＞1

解得m＞3．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的值，是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．