Question

已知橢圓C₁的方程為

x2

4

+y²=1，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，而C₂的左、右頂點分別是C₁的左、右焦點．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A和B，且

OA

•

OB

＞2（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓的焦點即為雙曲線的頂點，橢圓的頂點即為雙曲線的焦點，即有a=

3

，c=2，b=1．即可得到雙曲線方程；
（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去y，得到x的方程，運用韋達定理和判別式大于0，再由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，化簡和整理得到k的不等式，解出求它們的交集即可．

解答： 解：（1）橢圓C₁的方程為

x2

4

+y²=1的左、右焦點為（-

3

，0），（

3

，0），
則C₂的左、右頂點為（-

3

，0），（

3

，0），
C₁的左、右頂點為（-2，0），（2，0），則C₂的左、右焦點為（-2，0），（2，0）．
則雙曲線的a=

3

，c=2，b=1．
即有雙曲線C₂的方程為：

x2

3

-y²=1；
（2）將直線l：y=kx+

2

，與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得，
（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x₁x₂=

-9

1-3k2

，
且1-3k²≠0，△=72k²+36（1-3k²）＞0，即有k²≠

1

3

，k²＜1．
由

OA

•

OB

＞2得x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+

2

）（kx₂+

2

）
=（1+k²）x₁x₂+

2

k（x₁+x₂）+2＞2，
即（1+k²）•

-9

1-3k2

+

2

k•

6 2 k

1-3k2

＞0，即

3(k2-3)

1-3k2

＞0，
即有

1

3

＜k²＜3，又有k²≠

1

3

，k²＜1．則有

1

3

＜k²＜1．
解得

3

3

＜k＜1或-1＜k＜-

3

3

．
故k的取值范圍是（

3

3

，1）∪（-1，-

3

3

）．

點評：本題考查橢圓、雙曲線的方程和性質(zhì)，考查聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，消去未知數(shù)，運用韋達定理，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．