Question

7．如圖所示，?ABCD中，E、F分別是BC、DC的中點(diǎn)，BF與DE交于點(diǎn)G，設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow$．
（1）用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示$\overrightarrow{DE}$；
（2）試用向量方法證明：A、G、C三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量加法及數(shù)乘的幾何意義便可表示出$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow$；
（2）根據(jù)D，G，E三點(diǎn)共線便可得到$\overrightarrow{DG}=λ\overrightarrow{DE}$，從而可得到$\overrightarrow{CG}=（1-λ）\overrightarrow{CD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{CB}$，而同理由B，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線可得$\overrightarrow{CG}=（1-μ）\overrightarrow{CB}+\frac{μ}{2}\overrightarrow{CD}$，這樣由平面向量基本定理即可建立關(guān)于λ，μ的方程組，從而可解出λ=u=$\frac{2}{3}$，從而可求出$\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{AG}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$，從而得出$\overrightarrow{CG}，\overrightarrow{AG}$共線，從而得出A，G，C三點(diǎn)共線．

解答 （1）解：$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow$；
（2）證明：如圖，連接AG，CG；
D，G，E三點(diǎn)共線；
∴$\overrightarrow{DG}=λ\overrightarrow{DE}$；
∴$\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{CD}=λ（\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{CD}）$；
∴$\overrightarrow{CG}=（1-λ）\overrightarrow{CD}+\frac{λ}{2}\overrightarrow{CB}$①；
同理，由B，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線得$\overrightarrow{CG}=（1-μ）\overrightarrow{CB}+\frac{μ}{2}\overrightarrow{CD}$②；
∴由①②得，$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{μ}{2}}\\{\frac{λ}{2}=1-μ}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{2}{3}}\\{μ=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DG}=\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow+\frac{2}{3}（\overrightarrow{a}-\frac{1}{2}\overrightarrow）=\frac{2}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=-\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}$；
∴$\overrightarrow{AG}=-2\overrightarrow{CG}$；
∴$\overrightarrow{AG}，\overrightarrow{CG}$共線；
∴A，G，C三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法、減法，及數(shù)乘的幾何意義，平面向量基本定理，以及共線向量基本定理．