Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c（a，b為常數(shù)），且有x=1的切線為y=$-\frac{1}{2}$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求處函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用在x=1處的切線為y=$-\frac{1}{2}$，可得f′（1）=0，f（1）=-$\frac{1}{2}$，計(jì)算即可求得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，解不等式即可得到遞增區(qū)間．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²+2ax+b，
由f（x）在x=1的切線為y=$-\frac{1}{2}$，
則f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b=-$\frac{1}{2}$，
解得a=-$\frac{3}{2}$，b=0，
即有f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²；
（2）f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-3x，
由f′（x）＞0可得x＞1或x＜0，
即有f（x）的增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．