Question

10．對于函數(shù)f（x），若存在給定的實數(shù)對（a，b），對定義域中的任意實數(shù)x，都有f（a+x）•f（a-x）=b成立，則稱函數(shù)f（x）為“Ψ函數(shù)”．
（Ⅰ）函數(shù)f（x）=e^x是“Ψ函數(shù)”，求出所有實數(shù)對（a，b）滿足的關系式，并寫出兩個實數(shù)對；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）=sinx是否為“Ψ函數(shù)”，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）=e^x是“Ψ函數(shù)”，建立方程關系進行求解即可，求出所有實數(shù)對（a，b）滿足的關系式，并寫出兩個實數(shù)對；
（Ⅱ）根據(jù)“Ψ函數(shù)”的定義進行驗證判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=e^x是一個“Ψ函數(shù)”
由f（a+x）•f（a-x）=b得：e^a+xe^a-x=b，
∴e^2a=b（或$a=\frac{1}{2}lnb$）…（4分）
如：（0，1），（1，e²）等…（6分）
（Ⅱ）f（x）=sinx不是“Ψ函數(shù)”…（7分）
若函數(shù)f（x）=sinx是“Ψ函數(shù)”
則sin（a+x）sin（a-x）=b恒成立…（8分）
由（sinacosx+cosasinx）（sinacosx-cosasinx）=b恒成立
得sin²acos²x-cos²asin²x=b…（10分），
sin²acos²x-cos²a（1-cos²x）=bcos²x-cos²a=b
即cos²x=cos²a+b
∵x∈R則cos²x∈[0，1]
而cos²a+b為常數(shù)，這不可能
∴函數(shù)f（x）=sinx不是“Ψ函數(shù)”…（15分）
另法：（其它方法酌情給分）
即sin²acos²x-cos²asin²x=b（cos²x+sin²x），
∴（sin²a-b）cos²x-（cos²a+b）sin²x=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{sin^2}a=b\\{cos^2}a=-b\end{array}\right.$
若b=0，則sina=cosa=0，不可能
若b≠0，則tan²a=-1，不可能
∴函數(shù)f（x）=sinx不是“Ψ函數(shù)”

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，根據(jù)“Ψ函數(shù)”成立的條件，進行判斷和驗證是解決本題的關鍵．