Question

15．已知數(shù)列{a_n}的首項a₁=2，前n項和為S_n，且-a₂，S_n，2a_n+1成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$求數(shù)列（b_n}的前n項的和T_n，并證明T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵-a₂，S_n，2a_n+1成等差數(shù)列，∴2S_n=2a_n+1-a₂，
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=2a_n-a₂，
∴2a_n=2a_n+1-2a_n，
∴a_n+1=2a_n．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2，
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴數(shù)列（b_n}的前n項的和T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1，
∴T_n＜1．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．