Question

19．已知雙曲線$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，點(diǎn)A滿足$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AF}=0$，則點(diǎn)A到原點(diǎn)的最近距離為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 設(shè)F'為雙曲線的右焦點(diǎn)，PF的中點(diǎn)為M，由雙曲線的定義可得|PF|-|PF'|=2$\sqrt{3}$，再由中位線定理可得|OM|=$\frac{1}{2}$|PF'|，求得A的軌跡：A在以PF為直徑的圓上，當(dāng)O，A，M共線時，可得OA取得最小值，計(jì)算即可得到所求最小值．

解答 解：設(shè)F'為雙曲線的右焦點(diǎn)，PF的中點(diǎn)為M，由雙曲線的定義可得
|PF|-|PF'|=2a=2$\sqrt{3}$，
由OM為三角形PFF'的中位線，可得|OM|=$\frac{1}{2}$|PF'|，
又點(diǎn)A滿足$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AF}=0$，可得A在以PF為直徑的圓上，
當(dāng)O，A，M共線時，可得OA取得最小值，且為|OA|=r-|OM|=$\frac{1}{2}$|PF|-|OM|=$\frac{1}{2}$|PF|-$\frac{1}{2}$|PF'|=$\sqrt{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查兩點(diǎn)的距離的最小值的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和圓的性質(zhì)，及三點(diǎn)共線取得最小值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．