Question

17．設(shè)拋物線C：2y=x²的焦點(diǎn)為F，P為動(dòng)點(diǎn)．
（1）如果動(dòng)點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，以P為圓心，$\sqrt{6}$為半徑的圓與拋物線C在交點(diǎn)處的切線互相垂直，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）如果動(dòng)點(diǎn)P在直線l：x-y-2=0上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)．
①若$\overrightarrow{AF}$∥$\overrightarrow{BF}$，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并證明$\overrightarrow{PF}$⊥$\overrightarrow{AB}$；
②求△APB的重心的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（0，t），可得圓的方程為x²+（y-t）²=6，設(shè)圓與拋物線的交點(diǎn)為（m，$\frac{1}{2}$m²），求得切線的斜率，由題意可得m=$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}-t}{m}$，再由切點(diǎn)在圓上，滿足圓的方程，解方程，可得t，進(jìn)而P的坐標(biāo)；
（2））①設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（x₀，$\frac{1}{2}$x₀²）和（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²）（x₁≠x₀），求得切線AP，BP的方程，解得P的坐標(biāo)，運(yùn)用向量共線則斜率相等，解方程，可得P的坐標(biāo)，再由向量垂直的條件：斜率之積為-1，即可得證；
②由x_P=$\frac{{x}_{0}+{x}_{1}}{2}$，y_P=$\frac{1}{2}$x₀x₁，運(yùn)用三角形的重心坐標(biāo)可得，△APB的重心G的坐標(biāo)為x_G=$\frac{{x}_{0}+{x}_{1}+{x}_{P}}{3}$=x_P，
y_G=$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}+{y}_{P}}{3}$，化簡整理，代入直線方程，即可得到所求軌跡方程．

解答 解：（1）設(shè)P（0，t），可得圓的方程為x²+（y-t）²=6，
設(shè)圓與拋物線的交點(diǎn)為（m，$\frac{1}{2}$m²），
由y=$\frac{1}{2}$x²的導(dǎo)數(shù)為y′=x，則交點(diǎn)處的切線的斜率為m，
由在交點(diǎn)處的切線互相垂直，可得m=$\frac{\frac{1}{2}{m}^{2}-t}{m}$，
即為t=-$\frac{1}{2}$m²，又m²+（$\frac{1}{2}$m²-t）²=6，
解得t=-1（$\frac{3}{2}$舍去），則P（0，-1）；
（2）①設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為（x₀，$\frac{1}{2}$x₀²）和（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²）（x₁≠x₀），
∵y′=x，∴兩切線斜率分別為：x₀和x₁，
于是切線AP的方程為：x₀x-y-$\frac{1}{2}$x₀²=0，
切線BP的方程為：x₁x-y-$\frac{1}{2}$x₁²=0，
解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：x_P=$\frac{{x}_{0}+{x}_{1}}{2}$，y_P=$\frac{1}{2}$x₀x₁，
代入直線x-y-2=0，可得（x₀+x₁）-x₀x₁-4=0，
又拋物線C：2y=x²的焦點(diǎn)為F（0，$\frac{1}{2}$），
若$\overrightarrow{AF}$∥$\overrightarrow{BF}$，則k_AF=k_BF，即為$\frac{{{x}_{0}}^{2}-1}{2{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-1}{2{x}_{1}}$，即有x₀x₁=-1，x₀+x₁=3，
則P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）；
直線PF的斜率為k_PF=-$\frac{2}{3}$，直線AB的斜率為k_AB=$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{2（{x}_{0}-{x}_{1}）}$=$\frac{1}{2}$（x₀+x₁）=$\frac{3}{2}$，
由k_PF•k_AB=-1，可得$\overrightarrow{PF}$⊥$\overrightarrow{AB}$；
②由x_P=$\frac{{x}_{0}+{x}_{1}}{2}$，y_P=$\frac{1}{2}$x₀x₁，
所以△APB的重心G的坐標(biāo)為x_G=$\frac{{x}_{0}+{x}_{1}+{x}_{P}}{3}$=x_P，
y_G=$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}+{y}_{P}}{3}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+{{x}_{1}}^{2}+{x}_{0}{x}_{1}}{6}$=$\frac{（{x}_{0}+{x}_{1}）^{2}-{x}_{0}{x}_{1}}{6}$=$\frac{4{{x}_{P}}^{2}-2{y}_{P}}{6}$，
∴y_P=-3y_G+2x_G²，結(jié)合x_P=x_G代入點(diǎn)P所在直線方程，
得到重心G的軌跡方程為：x-（-3y+2x²）-2=0，即y=$\frac{1}{3}$（2x²-x+2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和運(yùn)用，考查直線與拋物線相切的條件，同時(shí)考查求軌跡的方法：“代入法”，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．