【題目】設(shè)a∈R,函數(shù)f(x)=x|x﹣a|+2x.
(1)若a=3,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值;
(2)若存在a∈(2,4],使得關(guān)于x的方程f(x)=tf(a)有三個不相等的實數(shù)解,求實數(shù)t的取值范圍.
【答案】
(1)解:當(dāng)a=3,x∈[0,4]時,f(x)=x|x﹣3|+2x= ,
可知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]遞增,在( ,3]上是減函數(shù),在[3,4]遞增,
則f( )= ,f(4)=12,
所以f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值為f(4)=12
(2)解:f(x)= ,
①當(dāng)x≥a時,因為a>2,所以 <a.
所以f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增.
②當(dāng)x<a時,因為a>2,所以 <a.
所以f(x)在(﹣∞, )上單調(diào)遞增,在[ ,a]上單調(diào)遞減.
當(dāng)2<a≤4時,知f(x)在(﹣∞, ]和[a,+∞)上分別是增函數(shù),
在[ ,a]上是減函數(shù),
當(dāng)且僅當(dāng)2a<tf(a)< 時,
方程f(x)=tf(a)有三個不相等的實數(shù)解.
即1<t< = (a+ +4).
令g(a)=a+ ,g(a)在a∈(2,4]時是增函數(shù),
故g(a)max=5.
∴實數(shù)t的取值范圍是(1, ).
【解析】(1)求出f(x)的分段函數(shù)式,運用二次函數(shù)的性質(zhì),可得單調(diào)區(qū)間,求得最大值;(2)將x分區(qū)間進(jìn)行討論,去絕對值寫出解析式,求出單調(diào)區(qū)間,將a分區(qū)間討論,求出單調(diào)區(qū)間解出即可.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物,也稱為可入肺顆粒物,根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3095﹣2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級;在35微克/立方米~75毫克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級;在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2012年全年每天的PM2.5監(jiān)測值數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測值頻數(shù)如表所示:
PM2.5日均值 | [25,35] | (35,45] | (45,55] | (55,65] | (65,75] | (75,85] |
頻數(shù) | 3 | 1 | 1 | 1 | 1 | 3 |
(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽取3天,求恰有1天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率;
(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù),記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù),求ξ的分布列;
(3)以這10天的PM2.5日均值來估計一年的空氣質(zhì)量狀況,則一年(按366天算)中平均有多少天的空氣質(zhì)量達(dá)到一級或二級.(精確到整數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: + =1(a>b>0),短軸長2,兩焦點分別為F1 , F2 , 過F1的直線交橢圓C于M,N兩點,且△F2MN的周長為8.
(1)求橢圓C的方程;
(2)直線l與橢圓C相交于A,B點,點D為橢圓C上一點,四邊形AOBD為矩形,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年3月29日,中國自主研制系全球最大水陸兩棲飛機(jī)AG600將于2017年5月計劃首飛,AG600飛機(jī)的用途很多,最主要的是森林滅火、水上救援、物資運輸、海洋探測、根據(jù)災(zāi)情監(jiān)測情報部門監(jiān)測得知某個時間段全國有10起災(zāi)情,其中森林滅火2起,水上救援3起,物資運輸5起,現(xiàn)從10起災(zāi)情中任意選取3起.
(1)求三種類型災(zāi)情中各取到1個的概率;
(2)設(shè)表示取到的森林滅火的數(shù)目,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了得到函數(shù)y=sin(2x﹣ ),x∈R的圖象,只需將函數(shù)y=sin2x,x∈R的圖象上所有的點( )
A.向左平行移動 個單位長度
B.向右平行移動 個單位長度
C.向左平行移動 個單位長度
D.向右平行移動 個單位長度
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的通項公式為an=25﹣n , 數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n+k,設(shè)cn= 若在數(shù)列{cn}中,c5≤cn對任意n∈N*恒成立,則實數(shù)k的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2sin2x+sinxcosx+cos2x,x∈R. 求:
(1)f()的值;
(2)函數(shù)f(x)的最小值及相應(yīng)x值;
(3)函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列{an}中,a1+a3=10,d=3.令bn= ,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;
(3)是否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得T1 , Tm , Tn成等比數(shù)列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 =1(a>b>0)的一個頂點為A(0,1),離心率為 ,過點B(0,﹣2)及左焦點F1的直線交橢圓于C,D兩點,右焦點設(shè)為F2 .
(1)求橢圓的方程;
(2)求△CDF2的面積.
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