Question

2．對(duì)于使f（x）≥N成立的所有常數(shù)N中，我們把N的最大值叫作f（x）的下確界．若a，b∈（0，+∞），且a+b=2，則$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}$的下確界為（　　）

• A． $\frac{16}{3}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 理解題目所給的新定義，利用基本不等式求出$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}$的最小值，即可求出$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}$的下確界．

解答 解：因?yàn)閍，b∈（0，+∞，且a+b=2，
所以$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}$=$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}$）=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}+3+\frac{3a}+\frac{3a}$）≥$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{3}$=$\frac{8}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3a}=\frac{3a}$，即b=3a時(shí)，等號(hào)成立，
所以$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}$的下確界為$\frac{8}{3}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值和新定義，在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了新定義問題的特點(diǎn)、問題轉(zhuǎn)化的思想以及函數(shù)求最值的方法．