Question

12．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸，圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=4\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$
（Ⅰ）將圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與圓C交于A，B兩點，點P的坐標(biāo)為（2，0），試求$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$的值．

Answer 1

分析 （I）由$ρ=4\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展開化為ρ²=$4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ），把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$代入即可得出．
（II）把直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：${t}^{2}+2\sqrt{2}t-4=0$，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$．利用$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$即可得出．

解答 解：（I）由$ρ=4\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，展開化為ρ²=$4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$（ρcosθ-ρsinθ），
化為x²+y²=4x-4y，即（x-2）²+（y+2）²=8．
（II）把直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）代入圓的方程可得：${t}^{2}+2\sqrt{2}t-4=0$，
∴t₁+t₂=-2$\sqrt{2}$，t₁t₂=-4＜0．
|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-2\sqrt{2}）^{2}-4×（-4）}$=2$\sqrt{6}$．
∴$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=$\frac{1}{|{t}_{1}|}+\frac{1}{|{t}_{2}|}$=$\frac{|{t}_{1}-{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=$\frac{2\sqrt{6}}{4}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查了把極坐標(biāo)方程化為直角方程、直線參數(shù)方程的應(yīng)用、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．