Question

14．如圖，已知點D為△ABC的邊BC上一點，$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，E_n（n∈N₊）為邊AC上的點，滿足$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\frac{1}{4}$a_n+1，$\overrightarrow{{E}_{n}B}$=（4a_n+3）$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，其中實數(shù)列{a_n}中a_n＞0，a₁=1，則{a_n}的通項公式為（　�。�

• A． 3•2^n-1-2
• B． 2ⁿ-1
• C． 4ⁿ-2
• D． 2•4^n-1-1

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，得到$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}B}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，設(shè)m$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\overrightarrow{{E}_{n}A}$，利用$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\frac{1}{4}$a_n+1$\overrightarrow{{E}_{n}B}$=（4a_n+3）$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，可得a_n+1+1=4（a_n+1），所以{a_n+1}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，問題得以解決

解答 解∵$\overrightarrow{BD}$=3$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}B}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，
設(shè)m$\overrightarrow{{E}_{n}C}$=$\overrightarrow{{E}_{n}A}$，
∵$\overrightarrow{{E}_{n}A}$=$\frac{1}{4}$a_n+1$\overrightarrow{{E}_{n}B}$=（4a_n+3）$\overrightarrow{{E}_{n}D}$，
∴$\frac{1}{3}$m=$\frac{1}{4}$a_n+1，$\frac{2}{3}$m=-（4a_n+3）
∴$\frac{1}{4}$a_n+1=-$\frac{1}{2}$（4a_n+3），
∴a_n+1+1=4（a_n+1），
∵a₁+1=2，
∴{a_n+1}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=2•4^n-1，
∴a_n=2•4^n-1-1．
故選：D

點評 本題考查數(shù)列與向量的綜合，考查三點共線，考查等比數(shù)列的證明，證明{a_n+1}是以2為首項，4為公比的等比數(shù)列是關(guān)鍵．