Question

10．如圖，在直角梯形PBCD中，PB∥DC，DC⊥BC，PB=BC=2CD=2，點A是PB的中點，現(xiàn)沿AD將平面PAD折起，設(shè)∠PAB=θ：
（1）當θ為直角時，求異面直線PC與BD所成角的大�。�
（2）當θ為多少度時，三棱錐P-ABD的體積為$\frac{\sqrt{2}}{6}$：

Answer 1

分析 （1）取PA的中點E，連結(jié)OE，BE，則∠BOP為PC，BD所成的角，由PA⊥AB，PA⊥AD可得PA⊥平面ABCD，利用勾股定理求出△OBE的三邊長，使用余弦定理求出cos∠BOP；
（2）P到平面ABCD的距離為PAsinθ=sinθ，代入棱錐P-ABD的體積公式求出sinθ得出θ的值．

解答 解：（1）∵AB∥CD，AB=CD，CD⊥BC，
∴四邊形ABCD是矩形，
連結(jié)AC交BD與O，則O是AC，BD的中點，
取PA的中點E，連結(jié)OE，BE，
則OE是△PAC的中位線，∴PC∥OE，OE=$\frac{1}{2}$PC．
∴∠BOE是異面直線PC，BD所成的角
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A，
∴PA⊥平面ABCD，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，OB=OA=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．OE=$\sqrt{A{E}^{2}+O{A}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴cos∠BOE=$\frac{O{B}^{2}+O{E}^{2}-B{E}^{2}}{2OB•OE}$=$\frac{\frac{5}{4}+\frac{6}{4}-\frac{5}{4}}{2×\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
∴∠BOE=arccos$\frac{\sqrt{30}}{10}$．即異面直線PC與BD所成的角為arccos$\frac{\sqrt{30}}{10}$．
（2）P到平面ABCD的距離h=PAsinθ=sinθ．
S_△ABD=$\frac{1}{2}AB×AD$=1，
∴V_P-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•h$=$\frac{1}{3}×1×sinθ$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴θ=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查了異面直線所成角的計算，棱錐的體積計算，作出空間角是解題關(guān)鍵，也可使用向量法求出，屬于中檔題．