Question

8．（1）已知定點(diǎn)M（a，0），在拋物線y²=2px（p＞0）上找一點(diǎn)N，使得|MN|最�。�
（2）已知拋物線y²=4x有內(nèi)接Rt△ABC，且直角頂點(diǎn)A（0，0），求證：直線BC過定點(diǎn)．
（3）已知拋物線y²=4x有內(nèi)接△ABC，且定點(diǎn)A（1，2），直線AB，AC的傾角互補(bǔ)，求證：底邊BC所在直線的斜率為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出N的坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到最小值；
（2）設(shè)直線AB方程為x=my+b，將直線AB方程代入拋物線方程y²=4x，得y²-4my-4b=0，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線垂直的條件，能夠證明直線AB過定點(diǎn)M（4，0）；
（3）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），利用k_AB+k_AC=0，運(yùn)用正弦的斜率公式，化簡整理即可得定值-1．

解答 （1）解：設(shè)N（x，y），則y²=2px，p＞0．
|MN|=$\sqrt{（x-a）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-a）^{2}+2px}$
=$\sqrt{{x}^{2}+2（p-a）x+{a}^{2}}$=$\sqrt{（x+p-a）^{2}+2pa-{p}^{2}}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，則a-p＜0，當(dāng)x=0時(shí)，|MN|取得最小值-a，此時(shí)N（0，0）；
當(dāng)0＜a≤$\frac{p}{2}$時(shí)，a-p＜0，2pa-p²≤0，當(dāng)x=0時(shí)，|MN|取得最小值a，此時(shí)N（0，0）；
當(dāng)$\frac{p}{2}$＜a≤p時(shí)，a-p＜0，2pa-p²＞0，當(dāng)x=0時(shí)，|MN|取得最小值a，此時(shí)N（0，0）；
當(dāng)a＞p時(shí)，a-p＞0，2pa-p²＞0，當(dāng)x=a-p時(shí)，|MN|取得最小值$\sqrt{2pa-{p}^{2}}$，此時(shí)N（a-p，$±\sqrt{2p（a-p）}$）．
（2）證明：設(shè)直線CB方程為x=my+b，C（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線CB方程代入拋物線方程y²=4x，
得y²-4my-4b=0，
則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4b，
∵OC⊥OB，x₁=$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，x₂=$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，
∴k_OA•k_OB=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{16}{{y}_{1}{y}_{2}}$=-$\frac{4}$=-1，解得b=4．
于是直線CB方程為x=my+4，該直線過定點(diǎn)（4，0）；
（3）證明：∵點(diǎn)A（1，2），設(shè)B（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），C（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
則k_AB+k_AC=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}$+$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}-1}$=0，即有$\frac{4}{{y}_{1}+2}+\frac{4}{{y}_{2}+2}$=0，
∴y₁+y₂=-4．
∴k_BC=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=-1．
∴直線BC的斜率為定值-1．

點(diǎn)評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，同時(shí)考查拋物線方程和直線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式的運(yùn)用，二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．