Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²-2x，g（x）=ax-2（a＞0），若?x∈[-1，2]，恒有（x）＞g（x）成立，則a的取值范圍是0＜a＜2$\sqrt{2}$-2；若?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得（x₁）=g（x₂），則實數(shù)a的取值范圍是a≥$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 ①?x∈[-1，2]，恒有f（x）＞g（x）成立，化為“?x∈[-1，2]，h（x）=f（x）-g（x）＞0恒成立”，
由此求出實數(shù)a的取值范圍；
②?x₁∈[-1，2]，?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），轉(zhuǎn)化為x₂∈[-1，2]時，g（x₂）的值域A與f（x₁）的值域B的關(guān)系是A?B，由此求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：①根據(jù)題意，當?x∈[-1，2]時，恒有f（x）＞g（x）成立，
即?x∈[-1，2]，h（x）=f（x）-g（x）＞0恒成立，
又a＞0時，h（x）=（x²-2x）-（ax-2）=x²-（2+a）x+2的對稱軸是x=1+$\frac{a}{2}$＞1，
所以，當1+$\frac{a}{2}$≤2，即a≤2時，h（x）在x∈[-1，2]上的最小值是
h（1+$\frac{a}{2}$）=${（1+\frac{a}{2}）}^{2}$-（2+a）（1+$\frac{a}{2}$）+2=-${（1+\frac{a}{2}）}^{2}$+2＞0，
解得0＜a＜2$\sqrt{2}$-2；
當1+$\frac{a}{2}$＞2，即a＞2時，h（x）在x∈[-1，2]上是減函數(shù)，最小值是
h（2）=4-2（2+a）+2＞0，解得a＜1，不滿足題意，舍去；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是0＜a＜2$\sqrt{2}$-2；
②由①知，?x₁∈[-1，2]時，f（x₁）=[-1，3]；
又?x₁∈[-1，2]，都?x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）=g（x₂），
∴當x₂∈[-1，2]時，a＞0，g（x）=ax-2是增函數(shù)，
g（x₂）的值域為[g（-1），g（2）]，且滿足[g（-1），g（2）]?[-1，3]；
即$\left\{\begin{array}{l}{-a-2≤-1}\\{2a-2≥3}\end{array}\right.$，解得a≥$\frac{5}{2}$；
∴實數(shù)a的取值范圍是a≥$\frac{5}{2}$．
故答案為：0＜a≤$\frac{1}{2}$；a≥$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，解題時應根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值和值域，分類解答，是綜合性題目．