Question

15．已知拋物線y²=2px（p＞0）焦點(diǎn)為F，拋物線上橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（6，0）的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過點(diǎn)F，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）確定拋物線上橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{p}$），利用拋物線上橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等，求出p，即可求拋物線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：x=my+6，代入y²=4x得，y²-4my-24=0，利用以AB為直徑的圓過點(diǎn)F，可得FA⊥FB，即$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=0，可得：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）拋物線上橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$±\sqrt{p}$），到拋物線頂點(diǎn)的距離的平方為$\frac{1}{4}+p$，
∵拋物線上橫坐標(biāo)為$\frac{1}{2}$的點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離與其到準(zhǔn)線的距離相等，
∴$\frac{1}{4}+p$=（$\frac{1}{2}$+$\frac{p}{2}$）²，
∴p=2
拋物線的方程為：y²=4x．…（6分）
（Ⅱ）由題意可知，直線l不垂直于y軸
可設(shè)直線l：x=my+6，代入y²=4x得，y²-4my-24=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=-24，
∵以AB為直徑的圓過點(diǎn)F，∴FA⊥FB，即$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=0
可得：（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=0
∴（1+m²）y₁y₂+5m（y₁+y₂）+25=0
∴-24（1+m²）+20m²+25=0，
解得：m=±$\frac{1}{2}$，
∴直線l：x=±$\frac{1}{2}$y+6，即l：2x±y-12=0．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．