Question

6．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁=c，2S_n=a_na_n+1-6，問數(shù)列{a_n}能否為等差數(shù)列？若能，求出c滿足的條件；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 由題意可得a₁=c可知a₂=2+$\frac{6}{c}$，又可得n≥2時(shí)a_n+1-a_n-1=2，要使{a_n}為等差數(shù)列需a₂-a₁=1，解關(guān)于c的方程驗(yàn)證可得．

解答 解：由題意可得當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=a₁a₂-6，
由a₁=c可知a₂=2+$\frac{6}{c}$；
當(dāng)n≥2時(shí)，由2S_n=a_na_n+1-6可得2S_n-1=a_n-1a_n-6，
兩式相減可得2a_n=a_n（a_n+1-a_n-1）．∴a_n+1-a_n-1=2
要使{a_n}為等差數(shù)列需a₂-a₁=1，即2+$\frac{6}{c}$-c=1
解得c=3或c=-2，
當(dāng)c=-2時(shí)，a₃=0，不合題意，舍去，
∴當(dāng)且僅當(dāng)c=3時(shí)，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的求和公式，涉及分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題．