Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=a+|$\frac{{x}^{2}1}{x}$|-2${\;}^{|lo{g}_{2}x|}$，若x$∈[\frac{1}{2}，4]$時，f（x）≤0恒成立，則a的取值范圍為$a≤\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 將恒等式變形，得a≤f（x）在x$∈[\frac{1}{2}，4]$時恒成立，其中f（x）=$-|x-\frac{1}{x}|+{2}^{|lo{g}_{2}x|}$，畫出其圖象即可．

解答 解：根據(jù)題意，當(dāng)x$∈[\frac{1}{2}，4]$時，f（x）≤0恒成立，
即不等式a≤$-|x-\frac{1}{x}|+{2}^{|lo{g}_{2}x|}$在x$∈[\frac{1}{2}，4]$時恒成立，
而函數(shù)f（x）=$-|x-\frac{1}{x}|+{2}^{|lo{g}_{2}x|}$的圖象如右圖，
所以f（x）在x$∈[\frac{1}{2}，4]$上的最小值為$\frac{1}{4}$，
故答案為：$a≤\frac{1}{4}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值問題，對不等式變形、構(gòu)造新函數(shù)并研究新函數(shù)的值域是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．