Question

13．在數(shù)列{a_n}中．a(chǎn)₁=4．a(chǎn)₂=10．若數(shù)列{log₃（a_n-1）}為等差數(shù)列，則T_n=a₁+a₂+…+a_n-n=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可判數(shù)列{a_n-1}為首項為3公比為$\frac{9}{3}$=3的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的求和公式計算可得．

解答 解：∵數(shù)列{log₃（a_n-1）}為等差數(shù)列，
∴l(xiāng)og₃（a_n+1-1）-log₃（a_n-1）=d，（d為公差），
∴l(xiāng)og₃$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=d，即$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n}-1}$=3^d，
∴數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列，
由a₁=4，a₂=10可得a₁-1=3，a₂-1=9，
∴數(shù)列{a_n-1}為首項為3公比為$\frac{9}{3}$=3的等比數(shù)列，
∴a_n-1=3×3^n-1=3ⁿ，∴a_n=3ⁿ+1，
∴T_n=a₁+a₂+…+a_n-n=$\frac{3×（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$
故答案為：$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$

點評 本題考查等比數(shù)列的求和公式，涉及等比數(shù)列的判定，屬基礎(chǔ)題．