Question

19．設(shè)f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|對一切x∈R恒成立，則
①f（$\frac{11π}{12}$）=0．
②f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
③|f（$\frac{7π}{10}$）|＜|f（$\frac{π}{5}$）|．
④存在經(jīng)過點（a，b）的直線與函數(shù)f（x）的圖象不相交．
⑤b＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[-$\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ}$]（k∈Z）．
以上結(jié)論正確的是①②（寫出正確結(jié)論的編號）．

Answer 1

分析 由輔助角公式化簡得f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2x+θ），結(jié)合已知不等式得f（$\frac{π}{6}$）是函數(shù)的最大或最小值，由正弦函數(shù)的最大值、兩角和的正弦公式化簡，求出θ、a與b的關(guān)系式，根據(jù)條件的三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)，對各選項逐個加以判斷．

解答 解：由題意得，f（x）=asin2x+bcos2x=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2x+θ），
其中角θ滿足cosθ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$，sinθ=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$
∵f（x）≤|f（$\frac{π}{6}$）|對一切x∈R恒成立，
∴f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$或-$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，此時2×$\frac{π}{6}$+θ=$\frac{π}{2}$+kπ（k∈Z），得θ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
則$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=|f（$\frac{π}{6}$）|=|$\frac{\sqrt{3}}{2}a+\frac{1}{2}b$|，化簡得a=$\sqrt{3}$b，
對于①，f（$\frac{11π}{12}$）=±$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2×$\frac{11π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=sin2π=0，故①正確；
對于②，根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，故②正確；
對于③，|f（$\frac{7π}{10}$ ）|=|$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2×$\frac{7π}{10}$+$\frac{π}{6}$）|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$|sin$\frac{47π}{30}$|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin$\frac{17π}{30}$，
∵|f（$\frac{π}{5}$ ）|=|$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2×$\frac{π}{5}$+$\frac{π}{6}$）|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$|sin$\frac{17π}{30}$|，
∴|f（$\frac{11π}{12}$）|=|f（$\frac{π}{5}$）|，故③不正確；
對于④，∵a=$\sqrt{3}$b，∴f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（2x+θ）=2|b|sin（2x+θ），
則f（x）的振幅為2|b|＞|b|，∴經(jīng)過點（a，b）的直線與函數(shù)f（x）的圖象必相交，
即直線必與函數(shù)f（x）的圖象有交點，故④不正確；
對于⑤，∵a=$\sqrt{3}$b＞0，∴f（x）=2bsin（2x+$\frac{π}{6}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]（k∈Z）$，
則[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）不是增區(qū)間，故⑤不正確．
故答案為：①②．

點評 本題考查三角函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)，輔助角公式、兩角和的正弦公式，考查化簡、變形能力．